تاریخ: ۱۳۹۵/۰۲/۱۲

معادله برنولی

معادله برنولی

دانیل برنولی (Daniel Bernolli) (تولد: ۱۰۷۹ ه.ش مرگ: ۱۱۶۱ه.ش./۱۷۰۰م - ۱۷۸۲م) دانشمندی هلندی بود که معادله‌ای درباره ی شاره‌ها به دست آورد. اصل برنولی فرم ریاضی قانون بقای انرژی در سیالات است. به زبان ساده چنین است: در شاره ای که جریان دارد، افزایش سرعت جریان با کاهش فشار هم زمان است، به شرطی که ارتفاع سیال ثابت بماند. معادله برنولی بیان دقیق تر این اصل است.

فرض کنید یک قسمت از شلنگ ِ آب را تنگ کنید. آب از آن می جهد. یعنی سرعت به فشار و سطح مقطع بستگی دارد. فرض کنید که یک سر ِ شلنگ بالاتر از دیگری باشد. باز هم در فشار خروج آب اثری مشاهده می شود. برنولی ثابت کرد که:

 

(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)=const.

p= فشار شاره

ρ= چگالی شاره

V= سرعت شاره

z= ارتفاع شاره

پس:

(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)_1=(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)_2

 

این معادله در مورد شاره‌ای تراکم‌ناپذیر صادق است. از کاربردهای این معادله در سوختگیری باک ماشین است. برای اینکه جریان بنزین از گالن به باک را هدایت کنید، در صورتی که نخواهید شلنگ ِ رابط را مک بزنید، باید فشار را در گالن بیشتر کنید تا شارش از فشار ِ زیاد به فشار کم جریان یابد. این یعنی بلندتر گرفتن ارتفاع گالن نسبت به ارتفاع باک. از کاربردهای دیگر همان ازدیاد سرعت آب در شلنگ آب است وقتی انگشتتان را جلوی شلنگ می گیرید. از کاربردهای دیگر این معادله توجیه این است که چرا تفاله ی چای در وسط استکان جمع می‌شود.

این رابطه مشهور که بین فشار ،سرعت و ارتفاع یک جریان در شرایط خاص به کار می رود (غیر قابل تراکم و غیر لزج بودن جریان مورد نظر).این رابطه از قانون بقای انرژی (قانون اول ترمودینامیک) به دست می‌آید.

برای استفاده از این معادله خط جریان باید شرایط زیر را داشته باشد:

۱-هیچ گونه انتقال حرارت در سیستم وجود نداشته باشد.

۲-کار محوری در سیستم برابر صفر باشد.

۳-دو نقطه ی انتخابی برای نوشتن معادله برنولی روی خط جریان باشند.

۴-جریان دائمی باشد.

۵-جریان غیر لزج باشد.
هدکل عبارت است از:

(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)=H.

توجه داشته باشید که هد(HEAD) انرژی با واحد ارتفاع است که مشخص کننده پتانسیل موجود در سیال است.


اثبات معادله برنولی

معادله برنولی یک رابطه بین فشار،سرعت و ارتفاع در جریان بی اصطکاک است.شکل دست راست یک لوله جریان با مساحت متغیر(A(S و طول ds را نشان می دهد.خواص سیال ممکن است برحسب s و برحسب زمان تغییر کند، اما در مقطع عرضی A یکنواخت فرض می شود.وضعیت لوله جریان اختیاری است و تغییر ارتفاع آن چنین است:(dz= ds(sin⁡θ

Mousavi.png

معادله پایستاری جرم برای حجم کنترل جزیی در شکل دست راست به صورت زیر است:

\frac{d}{dt}(\int_{c.v}{\rho d\nu )+{{{\dot{m}}}_{o}}-{{{\dot{m}}}_{i}}=0\Rightarrow \frac{\partial \rho }{\partial t}}d\nu +d\dot{m}\approx 0

که در آن، d\dot{m}=d(\rho AV)=-\frac{\partial \rho }{\partial t}Ads

اکنون رابطه تکانه خطی را در امتداد خط جریان می نویسیم:

\sum{d{{F}_{s}}=\frac{d}{dt}}(\int\limits_{c.v}{v\rho d\nu })+{{(\dot{m}V)}_{o}}-{{(\dot{m}V)}_{i}}\approx \frac{\partial }{\partial }(\rho V)Ads+d(\dot{m}V)

با چشم پوشی از نیروی برشی موثر بر دیواره لوله جریان، فقط نیروهای فشاری و گرانشی بر جای می ماند.نیروی گرانشی که از وزن سیال داخل حجم کنترل ناشی می شود،اندازه آن چنین است:

d{{F}_{sgrav}}=-dW\sin \theta =-\gamma Adz

 

نیروی فشاری در شکل دست چپ نشان داده شده است.در این شکل نیروی حاصل از فشار یکنواخت p درنظر گرفته نشده است.بنابراین اندازه نیروی خالص فشاری این چنین است:

d{{F}_{spress}}=\frac{1}{2}dpdA-dp(A+dA)\approx -Adp

با جایگذاری دو نیروی بالا در رابطه تکانه خطی ، نتیجه می شود:

\sum{d{{F}_{s}}=-\gamma Adz-Adp=\frac{\partial }{\partial t}}(\rho V)Ads+d(\dot{m}V)

س از ساده کردن نتیجه می شود:

\frac{\partial V}{\partial t}ds+\frac{dp}{rho}+VdV+gdz=0

با انتگرال گیری از این رابطه بین دو نقطه واقع بر یک خط جریان، نتیجه می شود:

\int_{1}^{2}{\frac{\partial V}{\partial t}}ds+\int_{1}^{2}{\frac{dp}{\rho }}+\frac{1}{2}(V_{2}^{2}-V_{1}^{2})+g({{z}_{2}}-{{z}_{1}})=0

جریان پایا و تراکم‌ناپذیر است. بنابراین نتیجه می‌شود:

\frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{\rho }+\frac{1}{2}(V_{2}^{2}-V_{1}^{2})+g({{z}_{2}}-{{z}_{1}})=0

شرایط لازم برای نوشتن معادله برنولی:
1-جریان تراکم ناپذیر باشد.معمولا برای سرعت های کم نوشته می شود.
2-جریان باید غیر لزج باشد.
3-معادله برنولی را روی خط جریان می نویسیم. جریان باید غیر چرخشی باشد.
4-جریان باید حالت پایا داشته باشد.
چند نکته برای نوشتن معادله برنولی:
1-معادله برنولی تنها در حالتی قابل استفاده است که نیروهای وارد بر سیال نیروی وزن و فشار باشند.
2-در ناحیه ای که کار یا گرما در سیال صورت می گیرد قابل استفاده نیست.برای مثال معادله ی برنولی را نمیتوان بین دو نقطه ورودی و خروجی یک کمپرسور به کار برد چون پره های کمپرسور نیروهای اضافی دیگری به سیال وارد میکنند.
3-ثابت معادله برنولی(ترم سمت راست) ازیک خط جریان به خط جریان دیگر تغییر می کند ولی زمانی که جریان غیر چرخشی باشد این ثابت برای تمام خطوط جریان ثابت است و میتوان معادله ی برنولی را بین هر دو نقطه دلخواه از جریان به کار برد.
4-در لوله ها معادله برنولی نمی نویسیم . باید معادله انرژی نوشته شود.
5-معادله برنولی را درون لایه مرزی نمی نویسیم.

چند نکته برای حل مسائل معادله برنولی:
1-بین دو نقطه ای که دارای حداقل مجهولات هستند نوشته می شود.
2-یک سطح مرجع را در پایین ترین نقطه سیستم به دلخواه انتخاب کنید تا از علامت های منفی در معادلات جلوگیری کرد.
3-برای سهولت در محاسبات به ویژه در مایعات از فشار نسبی استفاده کنیدالبته اگر از فشار های مطلق هم استفاده کنیم ازطرفین معادله حذف میشود .
4-اگر سرعت دو نقطه انتخاب شده مجهول باشند آنها را توسط معادله پیوستگی به هم ربط می دهیم.
5-سرعت های استفاده شده سرعت متوسط می باشند.
6-فشار نسبی درجت سیال خروجی از یک روزنه را صفر در نظر میگیریم.دقت کنید که در جت خروجی از یک دریچه در کانال افقی فشار را نمیتوان صفر در نظر گرفت و باید فشار هیدرو استاتیکی را منظور کنیم.
7-اگر یکی از نقاط روی سطح ازادیک سیال موجود در مخزن بزرگ باشد سرعت در آن نقطه را صفر در نظر می گیریم.

مثالها

مثال ۱

فرض کنید جریان تراکم ناپذیر و لزج است ودر حالت پایا قرار دارد

خواسته مسئله : سرعت آب در دریچه خروجی را بیابید.

Yaghoub.Safavi3.jpg

برای حل مسائل از طریق معادله برنولی ابتدا باید دقت کنیم که در مسئله اتلاف نداشته باشیم در غیر اینصورت از معادله برنولی نمیتوانیم استفاده کنیم.برای حل از این روش ابتدا باید بین دو نقطه که یک سری اطلاعاتش را داریم یک خط جریان دلخواه در نظر بگیریم و معادله برنولی را بنویسیم.

میدانیم روی خط جریان عبارت زیر برقرار است :

(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)=const.

معادله برنولی را برای نقطه 1 و 2 مینویسیم:

(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)_1=(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)_2

از آنجایی که فشار نقطه 1 با نقطه ی 2 برابر است(از انجا که فشار دو نقطه یک و دو برابر با فشار اتمسفر است) و می توان از سرعت سیال در نقطه 1 صرف نظر کرد (به دلیل اینکه سطح مقطح مخزن را بسیار بزرگتر از دریچه خروجی فرض نموده ایم لذا سرعت پایین رفتن آب در نقطه 1 قابل صرف نظر کردن است)، داریم :

(z)_1=(\frac{V^2}{2g})_2

(V)_2=(2gh)^\frac{1}{2}={6.26}


مثال ۲

فرضیات مسئله: فرض میکنیم قطر مخزن خیلی بزرگتر از قطر شیلنگ باشد آنگاه می توان مسئله را دائمی در نظر گرفت.

مجهولات : فشار در نقطه 1 و 2 و 3

Yaghoub.Safavi.4.jpg

معادله 1

با نوشتن معادله برنولی برای نقاط 1و4 سرعت نقطه 4 بصورت زیر به دست می آید.(فشار دو نقطه برابر است به دلیل اینکه در سطح ازاد قرار دارند و سرعت نقطه1 به علت بزرگ بودن سطح مقطع ورودی صفر در نظر گرفته میشود. مبدا مختصات را روی نقطه 4 قرار می دهیم تا ارتفاعش در معادله صفر شود.)

(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)_1=(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)_4

(V)_4=(2gh)^\frac{1}{2}

(V)_4=(2*10*(1.5))^\frac{1}{2}=5.48\frac{m}{s}

....طبق رابطه ی به دست امده برای4_(V)نتیجه می گیریم هر چه خروجی لوله پایین تر باشد,4_(V)بیشتر می شودو اگر خروجی لوله در سطح مخزن یادر بالای ان باشد,سیفوناژ انجام نمی شود.

از قانون بقای جرم داریم:

\frac{ \partial\;m_{cv}}{\partial\;t}=\dot m_{in}-\dot m_{out}=0

و نتیجه میگیریم که سرعت نقاط 2و 3و 4 با هم برابرند.(اگر برای نوشتن معادله بقای جرم حجم کنترل را بین نقاط 2و 3 درنظر بگیریم سطح مقطع و چگالی برابر است پس سرعت دو نقطه برابر میشود واگر حجم کنترل را بین نقاط 2و4 درنظر بگیریم سرعت نقطه2با سرعت 4 برابر میشود. در نتیجه سرعت هر سه نقطه برابر میشود)

با نوشتن معادله برنولی بین نقاط 1و2 و همچنین بین نقاط 3و4 می توانیم فشارها رابدست آوریم.

 

(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)_1=(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)_2

{{P}_{2}}-{{P}_{1}}=\gamma ({{z}_{1}}-{{z}_{2}})-\frac{V^2}{2g}{\rho\,g}

{{P}_{2}}-{{P}_{1}}=((1.5-1)*10000)-(((5.48)^2)/2)*1000=-10015.2

p_2=p_a-10015.2

(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)_3=(\frac{p}{\rho\,g}+\frac{V^2}{2g}+z)_4

{{P}_{3}}-{{P}_{4}}=\gamma (-{{z}_{3}})

{{P}_{3}}-{{P}_{a}}=10000*(-2)=-20000

p_3=p_a-20000


مثال ۳

در شکل زیر آب در لوله در حال جریان است.سرعت V را بیابید.

Mano.png

معادله برنولی بین دو نقطه 1 و 2:

برای اینکه مسئله آسان تر شود نقاط 1و2 را همسطح در نظر میگیریم تا ارتفاع در معادله برنولی از بین برود.

{{v}_{2}}={0}

{{(\frac{p}{\rho }+\frac{{{v}^{2}}}{2}+gz)}_{1}}={{(\frac{p}{\rho }+\frac{{{v}^{2}}}{2}+gz)}_{2}}\to \frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}=\frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{\rho }

اختلاف فشار در مانومتر:

{{p}_{1}}+{{\gamma }_{w}}{{h}_{1}}+{{\gamma }_{w}}S.G.h={{p}_{2}}+{{\gamma }_{w}}({{h}_{1}}+h)\to \frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{\rho }=gh(S.G.-1)

 

با استفاده از دو معادله ی بالا داریم:

\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}=gh(S.G.-1)\to {{v}_{1}}=\sqrt{2gh(S.G.-1)}


مثال ۴

در شکل داده شده v1 (سرعت ورودی آب )را بیابید.

Modha.png

معادله برنولی بین نقاط (1 و2):

دو نقطه را همسطح در نظر میگیریم.

{{(\frac{p}{\rho }+\frac{{{v}^{2}}}{2}+gz)}_{1}}={{(\frac{p}{\rho }+\frac{{{v}^{2}}}{2}+gz)}_{2}}\to {{p}_{1}}-{{p}_{2}}=\frac{1}{2}\rho ({{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2})

بقای جرم:

چون سرعت نقطه ی 2 را نداریم باید از معادله بقای جرم استفاده کنیم تا رابطه ی سرعت دو نقطه را پیدا کنیم.

{{\dot{m}}_{in}}={{\dot{m}}_{out}}\to \rho \frac{\pi }{4}{{D}_{1}}^{2}{{v}_{1}}=\rho \frac{\pi }{4}{{D}_{2}}^{2}{{v}_{2}}\to {{v}_{2}}={{(\frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}})}^{2}}{{v}_{1}}

اختلاف فشار در مانومتر:

{{p}_{1}}+{{\gamma }_{w}}{{h}}-{{\gamma }_{w}}S.G.h={{p}_{2}}\to \frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{\rho }=gh(1-S.G.)

 

\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2}-\frac {{{v}_{2}}^{2}}{2}=gh(S.G.-1)\to {{v}_{1}}=\sqrt{(\frac{{2gh(1-S.G.)}}{{{1-{{(\frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}})}^{4}}}}})}


مثال ۵

مثال ۵.آب درون یک لوله ی کاهنده ی جریان مطابق شکل زیر جریان دارد.فشار استاتیکی در نقاط 1 و2 توسط لوله ی U شکل محتوی روغن با SG<1 اندازه گیری میشود.مقدار h که توسط مانومتر خوانده میشود چقدر است؟ Monfared.jpg

با فرض جریان پایدار ،لزج و تراکم ناپذیر،معادله برنولی را می نویسیم: {{(\frac{P}{\rho }+\frac{1}{2}{{v}^{2}}+gz)}_{1}}={{(\frac{P}{\rho }+\frac{1}{2}{{v}^{2}}+gz)}_{2}}

همچنین با فرض یکنواخت بودن جریان ,طبق اصل پیوستگی داریم: {{Q}_{1}}={{Q}_{2}}\Rightarrow ~~~{{A}_{1}}{{V}_{1}}={{A}_{2}}{{V}_{2}}

با ترکیب دو رابطه ی بالا داریم: {{P}_{1}}-{{P}_{2}}=\gamma ({{z}_{2}}-{{z}_{1}})+\frac{1}{2}\rho {{v}^{2}}[1-{{(\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}})}^{2}}]

اختلاف فشار را به وسیله ی مانومتر بدست می آوریم: {{P}_{1}}-\gamma ({{z}_{2}}-{{z}_{1}})-\gamma \ell -\gamma h+SG\gamma h+\gamma \ell ={{P}_{2}}

یا {{P}_{1}}-{{P}_{2}}=\gamma ({{z}_{2}}-{{z}_{1}})+(1-SG)\gamma h

از ترکیب دو معادله بالا داریم: (1-SG)\gamma h=\frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}[1-{{(\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}})}^{2}}]

و چون {{v}_{2}}=\frac{Q}{{{A}_{2}}}

h را از رابطه ی زیر بدست می آوریم: h={{(\frac{Q}{{{A}_{2}}})}^{2}}\times \frac{1-{{(\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}})}^{2}}}{2g(1-SG)}


مثال ۶

با توجه به شرایط سوال، نیروی لازم برای اعمال به پیستون سرنگ تزریق نشان داده شده را محاسبه نمائید.

 

FDFDGREDYFDH1.jpg

با توجه به بقای جرم خواهیم داشت:

\begin{align}
& \frac{u}{U}={{\left( \frac{D}{d} \right)}^{2}} \\
& \underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,u={{40}^{2}}\times 3\times {{10}^{-3}} \\
& \underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,u=4.8{}^{m}\!\!\diagup\!\!{}_{s}\; \\
\end{align}

روش نخست:

با توجه به شرایط مسئله و عدم وجود اصطکاک و کار شفت، معادله بقای انرژی به معادله برنولی تقلیل می یابد.

{{\left( \frac{p}{\rho g}+\frac{{{V}^{2}}}{2g}+z \right)}_{1}}={{\left( \frac{p}{\rho g}+\frac{{{V}^{2}}}{2g}+z \right)}_{2}}

با توجه به یکسان بودن ارتفاع نقاطی که معادله برنولی بین آنها نوشته شده می توان نوشت:

{{\left( \frac{p}{\rho g}+\frac{{{V}^{2}}}{2g} \right)}_{1}}={{\left( \frac{{{p}_{0}}}{\rho g}+\frac{{{V}^{2}}}{2g} \right)}_{2}}

و در ادامه می توان اختلاف فشار را به صورت زیر محاسبه کرد:

\begin{align}
& \underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{p}_{1}}={{p}_{0}}+\rho \frac{{{u}^{2}}-{{U}^{2}}}{2} \\
& \underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{p}_{1}}-{{p}_{0}}\cong \rho \frac{{{U}^{2}}}{2} \\
& \underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,{{p}_{1}}-{{p}_{0}}=12000 \\
\end{align}

حال با بررسی و تحقیق تعادل مربوط به پیستون کار را ادامه می دهیم:

EWRTGVDFHDFH2.jpg


\begin{align}
& \mathop{\sum }^{}F=0\underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\mathop{\sum }^{}F=ma=0 \\
& \underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,F=\left( {{P}_{1}}-{{P}_{0}} \right)A\underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,F=12000\times \pi \times {{\left( 0.01 \right)}^{2}}\underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,F\cong 4N \\
\end{align}

روش یا رویکرد دوم:

با در نظر گرفتن حجم کنترل نشان داده شده خواهیم داشت:

DFGHFGJHDFGH3.jpg

پس از نوشتن معادله بقای تکانه خطی در راستای جریان داریم:

مشاهده می شود که هیچگونه دبی ورودی ای نداریم، و در ادامه دبی جرمی خروجی و تغییر جرم حجم کنترل در واحد زمان را نیز برای از سر گیری محاسبات پس از بیان معادله بقای تکانه خطی در راستای جریان، نوشته و بدست می آوریم:

\begin{align}
& \frac{\partial }{\partial T}{{\left( mV \right)}_{c.v.}}={{\left( \overset{}{\mathop{mV}}\, \right)}_{\frac{in}{x}}}-\overset{}{\mathop{{{\left( mV \right)}_{\frac{out}{x}}}}}\,+\mathop{\sum }^{}{{F}_{y}} \\
& \xrightarrow{{}}{{\left( \Delta m \right)}_{c.v.}}=U\Delta t\times \frac{\pi {{D}^{2}}}{4}\times \rho  \\
& \xrightarrow{{}}\Delta mU={{U}^{2}}\times \Delta T\times \frac{\pi {{D}^{2}}}{4}\times \rho  \\
& \xrightarrow{\underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,}\frac{\partial }{\partial T}{{\left( mV \right)}_{c.v.}}={{U}^{2}}\times \frac{\pi {{D}^{2}}}{4}\times \rho  \\
& \xrightarrow{and}m{{V}_{out}}=\rho \times {{u}^{2}}\times \frac{\pi {{d}^{2}}}{4} \\
& \xrightarrow{{}}\mathop{\sum }^{}F={{U}^{2}}\times \frac{\pi {{D}^{2}}}{4}\times \rho +{{u}^{2}}\times \frac{\pi {{d}^{2}}}{4}\times \rho =\frac{\rho \pi {{d}^{2}}}{4}\left( \frac{U{{D}^{2}}}{{{d}^{2}}}+{{u}^{2}} \right) \\
& \mathop{\xrightarrow{{}}\sum }^{}F=\frac{\rho \pi {{d}^{2}}}{4}\times u\left( u+U \right) \\
& \xrightarrow{{}}\underset{{}}{\mathop{\Rightarrow }}\,\mathop{\sum }^{}F=\frac{\rho \pi {{d}^{2}}}{4}{{u}^{2}} \\
\end{align}

اگر نتیجه را با روش قبل مقایسه کنیم مشاهده می کنیم که دو پاسخ بدست آمده در یک ضریب با هم تفاوت دارند، این تفاوت در واقع ناشی از این واقعیت است که در روش دوم، کل نیروهای وارد برحجم کنترل را محاسبه کردیم، ولی در روش نخست نیروی بدست آمده مربوط به خود پیستون و نه کل مجموعه سرنگ است. این موضوع با توجه به شکل (همانگونه که در زیر آمده است.)و با بررسی تعادل مسئله مبرهن واضح می نماید.

 

DGFJHDFGJFXGD4.jpg


\begin{align}
& \xrightarrow{{}}\mathop{\sum }^{}F=0 \\
& \xrightarrow{{}}\mathop{\sum }^{}F=F-\overset{{}}{\mathop{{{F}'}}}\,=0 \\
& \xrightarrow{\underset{{}}{\mathop{{}}}\,}F=\overset{{}}{\mathop{{{F}'}}}\, \\
& \xrightarrow{{}}F-\overset{{}}{\mathop{{{F}'}}}\,=\frac{\rho \pi {{d}^{2}}}{4}{{u}^{2}} \\
\end{align}